Matematika adalah salah satu mata pelajaran yang memerlukan pemahaman yang baik oleh siswa. Dalam setiap semester, siswa kelas 12 akan menghadapi ujian akhir atau Penilaian Akhir Semester (PAS) yang menentukan kelulusannya. Untuk mempersiapkan diri dalam menghadapi ujian ini, berikut ini adalah beberapa contoh soal PAS matematika kelas 12 semester 1:
1. Soal Persamaan Linear Satu Variabel
Diketahui persamaan 3x + 5 = 14, maka nilai x adalah?
Jawaban:
3x + 5 = 14
3x = 14 – 5
3x = 9
x = 3
Sehingga, nilai x adalah 3.
2. Soal Fungsi Kuadrat
Diketahui suatu fungsi kuadrat f(x) = 2x² – 3x + 1. Tentukan nilai minimum f(x)!
Jawaban:
Variabel x pada fungsi kuadrat f(x) dapat dihitung menggunakan rumus x = -b/2a, dengan a, b, dan c adalah koefisien fungsi kuadrat.
Sehingga, nilai x = -(-3)/2(2) = 3/4.
Selanjutnya, substitusikan nilai x tersebut pada fungsi kuadrat f(x), sehingga:
f(3/4) = 2(3/4)² – 3(3/4) + 1 = 1/8
Sehingga, nilai minimum f(x) adalah 1/8.
3. Soal Trigonometri
Diketahui sudut θ = 60°. Tentukan nilai sin θ, cos θ, dan tan θ!
Jawaban:
Gunakan rumus trigonometri pada segitiga siku-siku dengan sudut θ = 60°:
sin θ = sisi miring/hipotenusa = √3/2
cos θ = sisi sejajar sudut/hipotenusa = 1/2
tan θ = sisi miring/sisi sejajar sudut = √3
Sehingga, nilai sin θ = √3/2, cos θ = 1/2, dan tan θ = √3.
4. Soal Logaritma
Diketahui loga 2 = 0,301 dan loga 5 = 0,699. Tentukan nilai loga 10!
Jawaban:
Karena loga 10 = loga (2 x 5), maka:
loga 10 = loga 2 + loga 5 = 0,301 + 0,699 = 1
Sehingga, nilai loga 10 adalah 1.
5. Soal Matematika Diskrit
Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan B = {3, 4, 5, 6, 7}. Tentukan himpunan A ∩ B dan himpunan A ∪ B!
Jawaban:
Himpunan A ∩ B adalah himpunan bagian yang terdiri dari elemen-elemen yang sama pada kedua himpunan tersebut, yaitu:
A ∩ B = {3, 4, 5}
Himpunan A ∪ B adalah himpunan bagian yang terdiri dari semua elemen pada kedua himpunan tersebut, yaitu:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Sehingga, A ∩ B = {3, 4, 5} dan A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
6. Soal Statistika
Diketahui data nilai ujian matematika siswa kelas 12 sebagai berikut: 70, 80, 90, 85, 75, 95, 80, 85, 90. Tentukan nilai rata-rata, median, dan modus!
Jawaban:
Nilai rata-rata dapat dihitung dengan menjumlahkan semua nilai dan dibagi dengan banyaknya data, sehingga:
Rata-rata = (70 + 80 + 90 + 85 + 75 + 95 + 80 + 85 + 90)/9 = 83,3
Untuk mencari nilai median, data harus diurutkan terlebih dahulu:
70, 75, 80, 80, 85, 85, 90, 90, 95
Karena data terdiri dari 9 nilai, maka nilai median adalah nilai ke-5 dan ke-6, yaitu:
Median = (85 + 85)/2 = 85
Untuk mencari nilai modus, cari nilai yang paling sering muncul pada data. Dalam hal ini, nilai 80 dan 85 muncul dua kali, sehingga tidak ada modus.
Sehingga, nilai rata-rata = 83,3, nilai median = 85, dan tidak ada modus.
7. Soal Kalkulus
Diketahui fungsi f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6. Tentukan titik stasioner dan keadaan naik/turun fungsi!
Jawaban:
Untuk mencari titik stasioner, turunkan fungsi f(x) menjadi f'(x) = 3x² – 12x + 11. Setelah itu, cari nilai x yang memenuhi f'(x) = 0:
3x² – 12x + 11 = 0
x = (12 ± √12² – 4(3)(11))/2(3) = 1 atau 2,67
Selanjutnya, untuk mengetahui keadaan naik/turun fungsi, gunakan turunan kedua:
f”(x) = 6x – 12
Untuk x = 1, f”(1) = -6, sehingga titik tersebut adalah titik maksimum lokal.
Untuk x = 2,67, f”(2,67) = 6, sehingga titik tersebut adalah titik minimum lokal.
Sehingga, titik stasioner adalah (1, f(1)) dan (2,67, f(2,67)), dan fungsi naik pada interval (-∞, 1) dan (2,67, ∞) serta turun pada interval (1, 2,67).
8. Soal Geometri Analitik
Diketahui dua titik A(2, 3) dan B(5, 7). Tentukan persamaan garis AB!
Jawaban:
Untuk mencari persamaan garis AB, dapat menggunakan rumus:
y – y₁ = m(x – x₁)
di mana m adalah kemiringan garis yang dinyatakan sebagai:
m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
Dengan mengganti nilai titik A dan B, maka:
m = (7 – 3)/(5 – 2) = 4/3
Sehingga, persamaan garis AB adalah:
y – 3 = 4/3(x – 2)
y = 4/3x – 1/3
Sehingga, persamaan garis AB adalah y = 4/3x – 1/3.
9. Soal Aljabar Linier
Diketahui matriks A = [[2, 3], [4, 5]] dan matriks B = [[1, 2], [3, 4]]. Hitunglah A + B dan AB!
Jawaban:
Untuk menghitung A + B, jumlahkan setiap elemen pada matriks A dan B, sehingga:
A + B = [[2 + 1, 3 + 2], [4 + 3, 5 + 4]] = [[3, 5], [7, 9]]
Untuk menghitung AB, gunakan aturan perkalian matriks, yaitu:
AB = [[2, 3], [4, 5]] [[1, 2], [3, 4]]
= [[2 x 1 + 3 x 3, 2 x 2 + 3 x 4], [4 x 1 + 5 x 3, 4 x 2 + 5 x 4]]
= [[11, 18], [19, 32]]
Sehingga, A + B = [[3, 5], [7, 9]] dan AB = [[11, 18], [19, 32]].
10. Soal Teori Bilangan
Diketahui bilangan prima antara 50 hingga 70 adalah 53, 59, dan 61. Tentukan bilangan ganjil lain yang bukan prima dalam rentang tersebut!
Jawaban:
Untuk mencari bilangan ganjil lain yang bukan prima, cek satu per satu bilangan ganjil pada rentang tersebut. Bilangan ganjil yang bukan prima di antara 50 dan 70 adalah 51, 55, 57, 63, 65, 67, dan 69.
Sehingga, bilangan ganjil lain yang bukan prima dalam rentang tersebut adalah 51, 55, 57, 63, 65, 67, dan 69.
11. Soal Integral
Diketahui fungsi f(x) = 3x² + 2x + 1. Tentukan integral tak tentu dari f(x)!
Jawaban:
Integral tak tentu dari f(x) adalah:
∫(3x² + 2x + 1) dx = x³ + x² + x + C
di mana C adalah konstanta integrasi.
Sehingga, integral tak tentu dari f(x) adalah x³ + x² + x + C.
12. Soal Geometri
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, BC = 4 cm, dan CA = 5 cm. Tentukan luas segitiga ABC!
Jawaban:
Untuk menghitung luas segitiga ABC, dapat menggunakan rumus:
Luas = 1/2 × alas × tinggi
Dalam segitiga ABC, sisi AB dapat dijadikan alas, sehingga:
Luas = 1/2 × AB × tinggi
Untuk mencari tinggi, dapat menggunakan rumus segitiga Pythagoras:
CA² = AB² + BC²
5² = 3² + 4²
25 = 9 + 16
25 = 25
Sehingga, sisi AC = 5 adalah diameter lingkaran yang melalui titik tengah sisi AB. Dengan demikian, tinggi segitiga adalah setengah dari sisi BC, yaitu:
tinggi = BC/2 = 4/2 = 2 cm
Sehingga, luas segitiga ABC adalah:
Luas = 1/2 × AB × tinggi = 1/2 × 3 × 2 = 3 cm²
Sehingga, luas segitiga ABC adalah 3 cm².
13. Soal Matematika Ekonomi
Diketahui persamaan kurva permintaan Qd = 100 – 2P dan persamaan kurva penawaran Qs = 20 + 4P. Tentukan titik keseimbangan pasar!
Jawaban:
Tit